La comunità di ItaCa ha organizzato un corso di teoria delle categorie rivolto agli studenti italiani; questa pagina ospita un “diario delle lezioni”, che settimana per settimana sono apparse sul nostro canale youtube.
Il pubblico ideale è quello di chi, iniziata una laurea magistrale, sta orientandosi verso la propria specializzazione; sia essa in algebra, geometria, logica o analisi, se ha sentito parlare di proprietà universali, limiti e colimiti, e ora vorrebbe saperne di più, questo è il posto dove cercare!
Con poche eccezioni, agli atenei italiani manca un corso il cui argomento principale sia la teoria delle categorie; solitamente si apprende il linguaggio funtoriale perché esso è necessario a introdurre delle costruzioni in geometria algebrica, algebra omologica, teoria degli anelli (raramente, in analisi). Sebbene valida, questa visione ancillare della materia è molto parziale, e impedisce di fare ciò per cui la teoria delle categorie è stata inventata.
Appurato perciò che manca un corso che “riordini” le nozioni matematiche unificandole sotto i pochi e fondamentali concetti della matematica strutturale, abbiamo deciso di tentare di risolvere il problema.
La nostra formazione è abbastanza varia: ci siamo riuniti col desiderio di dare a questo corso la forma più interdisciplinare possibile. Il corso verrà insegnato in italiano, per avvicinare proprio gli studenti e le studentesse italiani/e, ma anche per stabilire un precedente, e costruire una nomenclatura adatta a fare teoria delle categorie in italiano.
Struttura del corso
Le lezioni verranno pubblicate sul canale youtube di ItaCa a cadenza settimanale (ogni giovedì).
Programma
Questo un programma di massima del corso:
- Concetti fondamentali: categorie, funtori, trasformazioni naturali.
- Classi di morfismi in una categoria: epi, mono, ed isomorfismi; funtori pienamente fedeli; esempi di varia natura.
- Limiti e colimiti, oggetti universali; oggetti iniziali, terminali, co/prodotti, co/equalizzatori, pullback, pushout.
- il lemma di Yoneda; proprietà dei funtori rappresentabili.
- Funtori aggiunti e loro proprietà; teoremi del funtore aggiunto, categorie cartesiane chiuse.
- Monadi; proprietà delle monadi; algebre e teorema di Beck.
- Categorie monoidali; definizioni, esempi, usi.
- Strutture chiuse e monoidali chiuse, funtori monoidali, simmetria.
- un’altra volta Yoneda: cocompletamento libero, fibrazioni, teorema di densità.
Il corso si è concluso a giugno 2022 con grande successo. Grazie a tutti, studenti e docenti, di avere partecipato!
Grazie a
- Greta Coraglia
- Jacopo Emmenegger
- Enrico Ghiorzi
- Francesca Guffanti
- Fosco Loregian
- Beppe Metere
- Daniele Palombi
- Paolo Perrone
e l’intera comunità di ItaCa che ha reso questo possibile!